MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriNumere ComplexeLegi de compoziție
Considerăm mulțimea H={z∈C∣∣z∣=1}H = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1 \} unde C\mathbb{C} este mulțimea numerelor complexe. Pe HH se definește operația de înmulțire a numerelor complexe. Demonstrați că (H,⋅)(H, \cdot) este un grup abelian. Apoi, arătați că pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*, mulțimea Hn={z∈H∣zn=1}H_n = \{ z \in H \mid z^n = 1 \} este un subgrup al lui HH.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Verificarea închiderii: pentru orice z1,z2∈Hz_1, z_2 \in H, ∣z1∣=1|z_1| = 1 și ∣z2∣=1|z_2| = 1, atunci ∣z1⋅z2∣=∣z1∣⋅∣z2∣=1|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2| = 1, deci z1⋅z2∈Hz_1 \cdot z_2 \in H.
21 punct
Verificarea asociativității: înmulțirea numerelor complexe este asociativă, deci operația este asociativă pe HH.
32 puncte
Găsirea elementului neutru: 1∈H1 \in H deoarece ∣1∣=1|1| = 1, și pentru orice z∈Hz \in H, z⋅1=1⋅z=zz \cdot 1 = 1 \cdot z = z.
42 puncte
Găsirea inverselor: pentru z∈Hz \in H, ∣z∣=1|z| = 1, deci z−1=zˉz^{-1} = \bar{z} și ∣zˉ∣=1|\bar{z}| = 1, deci z−1∈Hz^{-1} \in H și z⋅z−1=z−1⋅z=1z \cdot z^{-1} = z^{-1} \cdot z = 1.
51 punct
Verificarea comutativității: înmulțirea numerelor complexe este comutativă, deci pentru orice z1,z2∈Hz_1, z_2 \in H, z1⋅z2=z2⋅z1z_1 \cdot z_2 = z_2 \cdot z_1, deci grupul este abelian.
62 puncte
Pentru HnH_n: închidere: dacă z1,z2∈Hnz_1, z_2 \in H_n, atunci z1n=1z_1^n = 1 și z2n=1z_2^n = 1, deci (z1⋅z2)n=z1n⋅z2n=1⋅1=1(z_1 \cdot z_2)^n = z_1^n \cdot z_2^n = 1 \cdot 1 = 1, deci z1⋅z2∈Hnz_1 \cdot z_2 \in H_n. Element neutru: 1∈Hn1 \in H_n deoarece 1n=11^n = 1. Inversa: dacă z∈Hnz \in H_n, atunci zn=1z^n = 1, deci (z−1)n=(zn)−1=1−1=1(z^{-1})^n = (z^n)^{-1} = 1^{-1} = 1, deci z−1∈Hnz^{-1} \in H_n.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.