MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriCombinatoricăLegi de compoziție
Fie S3S_3 grupul simetric al permutărilor de ordinul 3, cu elementele {id,(1 2),(1 3),(2 3),(1 2 3),(1 3 2)}\{ id, (1\ 2), (1\ 3), (2\ 3), (1\ 2\ 3), (1\ 3\ 2) \}. Considerăm mulțimea H={σ∈S3∣σ(1)=1}H = \{ \sigma \in S_3 \mid \sigma(1) = 1 \}. Arătați că HH este un subgrup al lui S3S_3. Determinați ordinul lui HH și verificați dacă HH este un subgrup normal în S3S_3.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Verificăm că HH este nevidă (conține idid) și închisă la compunere: pentru σ,τ∈H\sigma, \tau \in H, avem (σ∘τ)(1)=σ(τ(1))=σ(1)=1(\sigma \circ \tau)(1) = \sigma(\tau(1)) = \sigma(1) = 1, deci σ∘τ∈H\sigma \circ \tau \in H.
23 puncte
Verificăm că HH conține inversele: pentru σ∈H\sigma \in H, avem σ−1(1)=1\sigma^{-1}(1) = 1, deoarece σ(1)=1\sigma(1)=1 implică 1=σ−1(σ(1))=σ−1(1)1 = \sigma^{-1}(\sigma(1)) = \sigma^{-1}(1), deci σ−1∈H\sigma^{-1} \in H.
32 puncte
Determinăm ordinul lui HH: elementele lui HH sunt permutările care fixează 1, adică H={id,(2 3)}H = \{ id, (2\ 3) \}, deci ordinul este 2.
42 puncte
Verificăm normalitatea: pentru σ∈S3\sigma \in S_3 și τ∈H\tau \in H, avem (σ∘τ∘σ−1)(1)=σ(τ(σ−1(1)))(\sigma \circ \tau \circ \sigma^{-1})(1) = \sigma(\tau(\sigma^{-1}(1))). Dacă alegem σ=(1 2)\sigma = (1\ 2) și τ=(2 3)\tau = (2\ 3), atunci (1 2)∘(2 3)∘(1 2)−1=(1 3)(1\ 2) \circ (2\ 3) \circ (1\ 2)^{-1} = (1\ 3), care nu este în HH, deci HH nu este subgrup normal.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.