MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compoziție
Fie G={a∈R∣a≠−1}G = \{ a \in \mathbb{R} \mid a \neq -1 \} și legea de compoziție definită prin x∗y=xy+x+yx \ast y = xy + x + y pentru orice x,y∈Gx, y \in G. Demonstrați că (G,∗)(G, \ast) este un grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificați închiderea: pentru x,y∈Gx, y \in G, x∗y=xy+x+yx \ast y = xy + x + y. Presupunând x∗y=−1x \ast y = -1, se obține xy+x+y=−1⇒(x+1)(y+1)=0xy + x + y = -1 \Rightarrow (x+1)(y+1)=0, deci x=−1x=-1 sau y=−1y=-1, contradicție. Așadar, x∗y∈Gx \ast y \in G.
22 puncte
Asociativitatea: calculăm (x∗y)∗z=(xy+x+y)∗z=(xy+x+y)z+(xy+x+y)+z=xyz+xz+yz+xy+x+y+z(x \ast y) \ast z = (xy + x + y) \ast z = (xy + x + y)z + (xy + x + y) + z = xyz + xz + yz + xy + x + y + z și x∗(y∗z)=x∗(yz+y+z)=x(yz+y+z)+x+(yz+y+z)=xyz+xy+xz+x+yz+y+zx \ast (y \ast z) = x \ast (yz + y + z) = x(yz + y + z) + x + (yz + y + z) = xyz + xy + xz + x + yz + y + z. Expresiile sunt egale, deci operația este asociativă.
32 puncte
Elementul neutru: căutăm ee astfel încât x∗e=xx \ast e = x pentru orice xx. Rezultă xe+x+e=x⇒e(x+1)=0⇒e=0xe + x + e = x \Rightarrow e(x+1) = 0 \Rightarrow e=0 (deoarece x≠−1x \neq -1). Verificăm că 0∗x=x0 \ast x = x, deci e=0e=0 este element neutru.
42 puncte
Inversul: pentru x∈Gx \in G, căutăm x−1x^{-1} cu x∗x−1=0x \ast x^{-1} = 0. Avem xx−1+x+x−1=0⇒x−1(x+1)=−x⇒x−1=−xx+1x x^{-1} + x + x^{-1} = 0 \Rightarrow x^{-1}(x+1) = -x \Rightarrow x^{-1} = \frac{-x}{x+1} (valid deoarece x≠−1x \neq -1). Verificăm că x−1∗x=0x^{-1} \ast x = 0.
52 puncte
Toate axiomele grupului sunt satisfăcute, deci (G,∗)(G, \ast) este un grup.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.