MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul simetric al permutărilor a trei elemente. Arătați că S3S_3 este necomutativ și determinați toate subgrupurile sale.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se definește S3S_3 ca mulțimea tuturor permutărilor de ordin 3, cu operația de compunere a permutărilor, și se listează cele 6 elemente: id,(12),(13),(23),(123),(132)id, (12), (13), (23), (123), (132).
23 puncte
Se demonstrează necomutativitatea prin calculul compunerii a două permutări distincte, de exemplu (12)(13)=(132)(12)(13) = (132) și (13)(12)=(123)(13)(12) = (123), deci (12)(13)≠(13)(12)(12)(13) \neq (13)(12).
33 puncte
Se determină subgrupurile lui S3S_3: subgrupul trivial {id}\{id\}; subgrupurile de ordin 2 generate de transpoziții: {id,(12)}\{id, (12)\}, {id,(13)}\{id, (13)\}, {id,(23)}\{id, (23)\}; subgrupul de ordin 3 generat de ciclul de lungime 3: {id,(123),(132)}\{id, (123), (132)\}; și subgrupul total S3S_3.
42 puncte
Se concluzionează că acestea sunt toate subgrupurile lui S3S_3, în total 6 subgrupuri distincte.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.