MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriMatriciAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie G=GL2(R)G = GL_2(\mathbb{R}) grupul matricilor inversabile de ordin 2 peste R\mathbb{R}. Considerăm submulțimea S={A∈G∣det⁡(A)>0}S = \{ A \in G \mid \det(A) > 0 \}. Arătați că SS este un subgrup normal al lui GG și determinați grupul factor G/SG / S.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Verificăm că SS este subgrup al lui GG: pentru A,B∈SA, B \in S, det⁡(AB)=det⁡(A)det⁡(B)>0\det(AB) = \det(A)\det(B) > 0, deci AB∈SAB \in S; pentru A∈SA \in S, det⁡(A−1)=1/det⁡(A)>0\det(A^{-1}) = 1/\det(A) > 0, deci A−1∈SA^{-1} \in S; elementul neutru I2∈SI_2 \in S deoarece det⁡(I2)=1>0\det(I_2)=1>0.
24 puncte
Arătăm că SS este normal: pentru orice A∈GA \in G și B∈SB \in S, avem det⁡(ABA−1)=det⁡(A)det⁡(B)det⁡(A−1)=det⁡(B)>0\det(ABA^{-1}) = \det(A)\det(B)\det(A^{-1}) = \det(B) > 0, deci ABA−1∈SABA^{-1} \in S.
33 puncte
Grupul factor G/SG/S constă din două clase: [I2][I_2] pentru matricile cu determinant pozitiv și [J][J] pentru o matrice cu determinant negativ, de exemplu J=(100−1)J = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}. Aplicația ϕ:G/S→Z2\phi: G/S \to \mathbb{Z}_2 definită de ϕ([A])=0\phi([A]) = 0 dacă det⁡(A)>0\det(A)>0 și 11 dacă det⁡(A)<0\det(A)<0 este un izomorfism, deci G/S≅Z2G/S \cong \mathbb{Z}_2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.