MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compoziție
Fie (G,⋅)(G, \cdot) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup abelian.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Observăm că din x2=ex^2 = e rezultă că x−1=xx^{-1} = x pentru orice x∈Gx \in G, deoarece într-un grup, x⋅x−1=ex \cdot x^{-1} = e și x2=ex^2 = e implică x=x−1x = x^{-1}.
25 puncte
Pentru orice a,b∈Ga, b \in G, avem a2=ea^2 = e și b2=eb^2 = e. Considerăm (ab)2=e(ab)^2 = e, deci abab=eabab = e. Înmulțind la dreapta cu bb, obținem aba=baba = b. Apoi, înmulțind la stânga cu aa, avem ba=abba = ab. Astfel, ab=baab = ba.
33 puncte
Deoarece ab=baab = ba pentru orice a,b∈Ga, b \in G, grupul (G,⋅)(G, \cdot) este abelian.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.