MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriNumere ComplexeTeoria Mulțimilor
Fie H={z∈C∣∣z∣=1}H = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1 \} mulțimea numerelor complexe de modul 1, cu înmulțirea complexă. Demonstrați că HH este un grup. Apoi, găsiți toate subgrupurile finite ale lui HH.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Arătăm că înmulțirea este lege de compoziție internă pe HH: pentru orice z1,z2∈Hz_1, z_2 \in H, avem ∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣=1|z_1 z_2| = |z_1| |z_2| = 1, deci z1z2∈Hz_1 z_2 \in H.
23 puncte
Verificăm axiomele de grup: asociativitatea este moștenită din C\mathbb{C}, elementul neutru este 1∈H1 \in H deoarece ∣1∣=1|1|=1, iar pentru fiecare z∈Hz \in H, inversul z−1=zˉz^{-1} = \bar{z} satisface ∣zˉ∣=1|\bar{z}|=1, deci z−1∈Hz^{-1} \in H.
34 puncte
Orice subgrup finit al lui HH este ciclic și generat de rădăcini ale unității. Pentru n∈N∗n \in \mathbb{N}^*, mulțimea Un={e2πik/n∣k=0,1,…,n−1}U_n = \{ e^{2\pi i k / n} \mid k=0,1,\dots,n-1 \} este subgrup finit de ordin nn. Reciproc, fie KK un subgrup finit al lui HH cu ∣K∣=n|K|=n, atunci elementele lui KK sunt toate rădăcini de ordin nn ale unității, deci K=UnK = U_n.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.