MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriMatriciDeterminanți
Fie G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că mulțimea GG împreună cu operația de înmulțire a matricelor formează un grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
13 puncte
Închiderea: pentru orice A,B∈GA, B \in G, det⁡(A)=1\det(A) = 1 și det⁡(B)=1\det(B) = 1; atunci det⁡(AB)=det⁡(A)det⁡(B)=1\det(AB) = \det(A)\det(B) = 1, deci AB∈GAB \in G.
22 puncte
Asociativitatea: înmulțirea matricelor este asociativă, această proprietate se moștenește de la M2(R)M_2(\mathbb{R}).
32 puncte
Elementul neutru: matricea identitate I2I_2 are det⁡(I2)=1\det(I_2) = 1, deci I2∈GI_2 \in G și pentru orice A∈GA \in G, A⋅I2=AA \cdot I_2 = A.
42 puncte
Elementele inversabile: pentru orice A∈GA \in G, det⁡(A)=1≠0\det(A) = 1 \neq 0, deci AA este inversabilă; inversa A−1A^{-1} există și det⁡(A−1)=1det⁡(A)=1\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)} = 1, deci A−1∈GA^{-1} \in G.
51 punct
Concluzie: (G,⋅)(G, \cdot) satisface toate axiomele grupului.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.