MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea G=(0,∞)G = (0, \infty) se definește legea de compoziție x∗y=x2+y2x \ast y = \sqrt{x^2 + y^2}. Studiați dacă (G,∗)(G, \ast) este grup. Dacă da, determinați elementul neutru și simetricul fiecărui element. Dacă nu, specificați care proprietăți nu sunt satisfăcute.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificăm dacă legea este internă: pentru x,y>0x, y > 0, avem x∗y=x2+y2>0x \ast y = \sqrt{x^2 + y^2} > 0, deci x∗y∈Gx \ast y \in G.
22 puncte
Verificăm asociativitatea: (x∗y)∗z=(x2+y2)2+z2=x2+y2+z2(x \ast y) \ast z = \sqrt{(\sqrt{x^2 + y^2})^2 + z^2} = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} și x∗(y∗z)=x2+(y2+z2)2=x2+y2+z2x \ast (y \ast z) = \sqrt{x^2 + (\sqrt{y^2 + z^2})^2} = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}. Deci (x∗y)∗z=x∗(y∗z)(x \ast y) \ast z = x \ast (y \ast z).
32 puncte
Căutăm elementul neutru ee astfel încât x∗e=xx \ast e = x pentru orice x>0x > 0. x∗e=x2+e2=xx \ast e = \sqrt{x^2 + e^2} = x implică x2+e2=x2x^2 + e^2 = x^2, deci e2=0e^2 = 0, deci e=0e = 0. Dar 0∉G0 \notin G. Deci nu există element neutru.
42 puncte
Deoarece nu există element neutru, nu putem vorbi de simetrice.
52 puncte
Concluzie: (G,∗)(G, \ast) nu este grup deoarece nu are element neutru. (Comutativitatea este satisfăcută: x∗y=y∗xx \ast y = y \ast x, dar nu este necesar pentru grup.)

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.