MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea G={x∈R∣x>0}G = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 0\} și operația ∗\ast definită prin x∗y=xyx \ast y = \sqrt{xy} pentru orice x,y∈Gx, y \in G. Studiați dacă (G,∗)(G, \ast) este un grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificăm închiderea: pentru orice x,y>0x, y > 0, avem xy>0\sqrt{xy} > 0, deci x∗y∈Gx \ast y \in G.
23 puncte
Verificăm asociativitatea: (x∗y)∗z=(xy)⋅z=xyz4(x \ast y) \ast z = \sqrt{(\sqrt{xy}) \cdot z} = \sqrt[4]{xyz} și x∗(y∗z)=x⋅yz=xyz4x \ast (y \ast z) = \sqrt{x \cdot \sqrt{yz}} = \sqrt[4]{xyz}, deci operația este asociativă.
33 puncte
Căutăm elementul neutru: presupunem că există e∈Ge \in G astfel încât x∗e=xx \ast e = x pentru orice x∈Gx \in G. Atunci xe=x\sqrt{xe} = x, deci xe=x2xe = x^2, adică e=xe = x pentru x≠0x \neq 0. Dar ee trebuie să fie unic, iar egalitatea e=xe = x pentru orice xx este imposibilă. Prin urmare, nu există element neutru.
42 puncte
Concluzie: deoarece nu există element neutru, (G,∗)(G, \ast) nu este un grup.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.