MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compoziție
Verificați dacă mulțimea G=R∖{1}G = \mathbb{R} \setminus \{1\} cu operația x∗y=xy−x−y+2x \ast y = xy - x - y + 2 formează un grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificați asociativitatea: pentru orice x,y,z∈Gx, y, z \in G, calculați (x∗y)∗z(x \ast y) \ast z și x∗(y∗z)x \ast (y \ast z) și arătați că sunt egale.\n
22 puncte
Găsiți elementul neutru e∈Ge \in G astfel încât x∗e=e∗x=xx \ast e = e \ast x = x pentru orice x∈Gx \in G. Rezolvați ecuația x∗e=xx \ast e = x.\n
32 puncte
Pentru fiecare x∈Gx \in G, găsiți elementul simetric x′∈Gx' \in G astfel încât x∗x′=x′∗x=ex \ast x' = x' \ast x = e. Rezolvați ecuația x∗x′=ex \ast x' = e.\n
42 puncte
Verificați că operația este închisă pe GG: pentru orice x,y∈Gx, y \in G, arătați că x∗y≠1x \ast y \neq 1.\n
52 puncte
Concluzie: pe baza verificărilor, stabiliți dacă GG este grup.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.