MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuri
Fie (G,⋅)(G, \cdot) un grup și HH un subgrup al lui GG cu indicele [G:H]=2[G:H] = 2. Demonstrați că HH este subgrup normal în GG.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Definiția subgrupului normal: HH este normal în GG dacă pentru orice g∈Gg \in G, avem gH=HggH = Hg sau echivalent gHg−1=HgHg^{-1} = H.
24 puncte
Deoarece [G:H]=2[G:H] = 2, există exact două clase laterale: HH și gHgH pentru orice g∉Hg \notin H. Pentru g∈Hg \in H, avem gH=H=HggH = H = Hg. Pentru g∉Hg \notin H, clasele laterale stângi sunt HH și gHgH, iar cele drepte sunt HH și HgHg. Cum gHgH și HgHg sunt complementare lui HH în GG, rezultă că gH=HggH = Hg.
33 puncte
Prin urmare, pentru orice g∈Gg \in G, avem gH=HggH = Hg, deci HH este subgrup normal în GG.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.