MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriMatrici
Fie mulțimea G={(ab01)∣a,b∈R,a≠0}G = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R}, a \neq 0 \right\} cu operația de înmulțire a matricelor. Arătați că (G,⋅)(G, \cdot) formează un grup. Este acest grup abelian?

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se verifică închiderea: pentru orice A=(ab01),B=(cd01)∈GA = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} c & d \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in G, avem A⋅B=(acad+b01)∈GA \cdot B = \begin{pmatrix} ac & ad + b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in G deoarece ac≠0ac \neq 0.
22 puncte
Asociativitatea rezultă din asociativitatea înmulțirii matricelor.
32 puncte
Elementul neutru este E=(1001)∈GE = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in G și verifică A⋅E=E⋅A=AA \cdot E = E \cdot A = A.
42 puncte
Pentru A=(ab01)A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, inversul este A−1=(1a−ba01)∈GA^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{a} & -\frac{b}{a} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in G și verifică A⋅A−1=A−1⋅A=EA \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = E.
52 puncte
Grupul nu este abelian; de exemplu, pentru A=(2101)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și B=(3001)B = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, avem A⋅B≠B⋅AA \cdot B \neq B \cdot A.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.