MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compoziție
Considerăm mulțimea G=R∖{1}G = \mathbb{R} \setminus \{1\} și operația ∗* definită prin a∗b=a+b−aba * b = a + b - ab, pentru orice a,b∈Ga, b \in G. Demonstrați că (G,∗)(G, *) este un grup. Este acest grup abelian?

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verifică că pentru orice a,b∈Ga, b \in G, avem a∗b∈Ga * b \in G, adică a+b−ab≠1a + b - ab \neq 1, deoarece ecuația a+b−ab=1a + b - ab = 1 are soluții doar dacă a=1a=1 sau b=1b=1, care sunt excluse.
22 puncte
Arată că operația ∗* este asociativă: (a∗b)∗c=a∗(b∗c)(a * b) * c = a * (b * c) pentru orice a,b,c∈Ga, b, c \in G, folosind calcul direct: (a+b−ab)+c−(a+b−ab)c=a+(b+c−bc)−a(b+c−bc)(a+b-ab)+c - (a+b-ab)c = a+(b+c-bc) - a(b+c-bc).
32 puncte
Determină elementul neutru ee astfel încât a∗e=aa * e = a pentru orice a∈Ga \in G; rezolvând a+e−ae=aa + e - ae = a, se obține e=0e=0 și se verifică că 0∈G0 \in G.
42 puncte
Pentru fiecare a∈Ga \in G, găsește inversul a′a' astfel încât a∗a′=ea * a' = e; rezolvând a+a′−aa′=0a + a' - aa' = 0, se obține a′=aa−1a' = \frac{a}{a-1} și se verifică că a′∈Ga' \in G deoarece a≠1a \neq 1.
52 puncte
Verifică dacă operația este comutativă: a∗b=b∗aa * b = b * a pentru orice a,b∈Ga, b \in G; da, deoarece a+b−ab=b+a−baa + b - ab = b + a - ba, deci grupul este abelian.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.