MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie G={a+b2∣a,b∈Q}G = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Q} \} și operația ⋅\cdot definită prin (a+b2)⋅(c+d2)=(ac+2bd)+(ad+bc)2(a + b\sqrt{2}) \cdot (c + d\sqrt{2}) = (ac + 2bd) + (ad + bc)\sqrt{2}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este un grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verifică închiderea: pentru orice x=a1+b12,y=a2+b22∈Gx = a_1 + b_1\sqrt{2}, y = a_2 + b_2\sqrt{2} \in G, avem x⋅y=(a1a2+2b1b2)+(a1b2+b1a2)2∈Gx \cdot y = (a_1a_2 + 2b_1b_2) + (a_1b_2 + b_1a_2)\sqrt{2} \in G, deoarece coeficienții sunt numere raționale.
22 puncte
Demonstrează asociativitatea: pentru x,y,z∈Gx, y, z \in G, calculează (x⋅y)⋅z(x \cdot y) \cdot z și x⋅(y⋅z)x \cdot (y \cdot z) folosind definiția și arată că sunt egale.
32 puncte
Găsește elementul neutru e=1+02e = 1 + 0\sqrt{2}, verificând că e⋅x=x⋅e=xe \cdot x = x \cdot e = x pentru orice x∈Gx \in G.
42 puncte
Pentru x=a+b2∈Gx = a + b\sqrt{2} \in G, găsește inversul x−1=aa2−2b2−ba2−2b22x^{-1} = \frac{a}{a^2 - 2b^2} - \frac{b}{a^2 - 2b^2}\sqrt{2} (cu a2−2b2≠0a^2 - 2b^2 \neq 0 deoarece a,b∈Qa, b \in \mathbb{Q} și x≠0x \neq 0), și verifică că x⋅x−1=ex \cdot x^{-1} = e.
52 puncte
Concluzionează că (G,⋅)(G, \cdot) satisface axiomele de închidere, asociativitate, element neutru și invers, deci este un grup.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.