MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră mulțimea M={(x,y)∣x,y∈R}M = \{ (x, y) \mid x, y \in \mathbb{R} \} și operația ∗* definită prin (x1,y1)∗(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2+x1x2)(x_1, y_1) * (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2 + x_1 x_2). Arătați că (M,∗)(M, *) este un grup. Apoi, determinați inversul unui element arbitrar (x,y)∈M(x, y) \in M.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificați că operația ∗* este internă pe MM; adică pentru orice (x1,y1),(x2,y2)∈M(x_1, y_1), (x_2, y_2) \in M, (x1+x2,y1+y2+x1x2)∈M(x_1 + x_2, y_1 + y_2 + x_1 x_2) \in M deoarece suma și produsul numerelor reale sunt reale.
23 puncte
Demonstrați asociativitatea operației ∗*; calculați ((x1,y1)∗(x2,y2))∗(x3,y3)((x_1, y_1) * (x_2, y_2)) * (x_3, y_3) și (x1,y1)∗((x2,y2)∗(x3,y3))(x_1, y_1) * ((x_2, y_2) * (x_3, y_3)), arătând că ambele dau (x1+x2+x3,y1+y2+y3+x1x2+x1x3+x2x3)(x_1 + x_2 + x_3, y_1 + y_2 + y_3 + x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3).
32 puncte
Găsiți elementul neutru e=(a,b)e = (a, b) rezolvând (x,y)∗(a,b)=(x,y)(x, y) * (a, b) = (x, y) pentru orice (x,y)(x, y); obțineți a=0a = 0 și b=0b = 0, deci e=(0,0)e = (0,0).
43 puncte
Pentru un (x,y)(x, y) dat, găsiți inversul (x′,y′)(x', y') rezolvând (x,y)∗(x′,y′)=(0,0)(x, y) * (x', y') = (0,0); obțineți x′=−xx' = -x și y′=−y+x2y' = -y + x^2, deci inversul este (−x,−y+x2)(-x, -y + x^2).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.