MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriNumere Complexe
Se consideră mulțimea G={z∈C∣∣z∣=1}G = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1 \} cu operația de înmulțire a numerelor complexe. a) Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este un grup abelian. b) Determinați toate elementele de ordin finit din GG și arătați că pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*, există un element de ordin nn în GG.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
13 puncte
Verifică închiderea: pentru orice z1,z2∈Gz_1, z_2 \in G, ∣z1⋅z2∣=∣z1∣⋅∣z2∣=1|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2| = 1, deci z1⋅z2∈Gz_1 \cdot z_2 \in G; asociativitatea rezultă din asociativitatea înmulțirii numerelor complexe.
22 puncte
Elementul neutru este 1∈G1 \in G, deoarece ∣1∣=1|1| = 1 și 1⋅z=z⋅1=z1 \cdot z = z \cdot 1 = z pentru orice z∈Gz \in G.
32 puncte
Pentru orice z∈Gz \in G, inversul este z−1=z‾z^{-1} = \overline{z}, cu ∣z‾∣=1|\overline{z}| = 1, și z⋅z‾=∣z∣2=1z \cdot \overline{z} = |z|^2 = 1, deci z‾∈G\overline{z} \in G.
41 punct
Comutativitatea: pentru orice z1,z2∈Gz_1, z_2 \in G, z1⋅z2=z2⋅z1z_1 \cdot z_2 = z_2 \cdot z_1, deoarece înmulțirea numerelor complexe este comutativă.
52 puncte
Un element z∈Gz \in G are ordin finit dacă există k∈N∗k \in \mathbb{N}^* cu zk=1z^k = 1. Scriind z=eiθz = e^{i\theta}, condiția devine eikθ=1e^{ik\theta} = 1, adică kθ=2πmk\theta = 2\pi m cu m∈Zm \in \mathbb{Z}, deci θ=2πmk\theta = 2\pi \frac{m}{k}. Elementele de ordin finit sunt de forma e2πimne^{2\pi i \frac{m}{n}} cu m,n∈Zm,n \in \mathbb{Z}, n>0n>0, iar pentru orice nn, elementul e2πi1ne^{2\pi i \frac{1}{n}} are ordin nn.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.