MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compoziție
Fie G=R∖{1}G = \mathbb{R} \setminus \{1\} și operația ∗* definită prin x∗y=xy−x−y+2x * y = xy - x - y + 2 pentru orice x,y∈Gx, y \in G. Arătați că (G,∗)(G, *) este un grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificăm închiderea: pentru orice x,y∈Gx, y \in G, arătăm că x∗y∈Gx * y \in G, adică x∗y≠1x * y \neq 1.\n
23 puncte
Verificăm asociativitatea: demonstrăm că (x∗y)∗z=x∗(y∗z)(x * y) * z = x * (y * z) pentru orice x,y,z∈Gx, y, z \in G.\n
32 puncte
Găsim elementul neutru ee rezolvând ecuația x∗e=xx * e = x și verificăm că e∗x=xe * x = x pentru orice x∈Gx \in G.\n
43 puncte
Găsim inversul x−1x^{-1} pentru fiecare x∈Gx \in G rezolvând ecuația x∗x−1=ex * x^{-1} = e și verificăm că x−1∗x=ex^{-1} * x = e.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.