MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriNumere ComplexeTeoria Mulțimilor
Fie nn un număr natural nenul. Considerați mulțimea Gn={z∈C∣zn=1}G_n = \{ z \in \mathbb{C} \mid z^n = 1 \} a rădăcinilor de ordinul nn ale unității. Arătați că (Gn,⋅)(G_n, \cdot) este un grup abelian, unde ⋅\cdot este înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate subgrupurile lui GnG_n și demonstrați că acestea sunt ciclice.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificați că 1∈Gn1 \in G_n, deci mulțimea este nevidă, și pentru orice z1,z2∈Gnz_1, z_2 \in G_n, avem (z1z2)n=z1nz2n=1⋅1=1(z_1 z_2)^n = z_1^n z_2^n = 1 \cdot 1 = 1, deci z1z2∈Gnz_1 z_2 \in G_n (proprietatea de închidere).
23 puncte
Înmulțirea numerelor complexe este asociativă. Elementul neutru este 1∈Gn1 \in G_n. Pentru orice z∈Gnz \in G_n, inversul este z−1=zn−1z^{-1} = z^{n-1}, deoarece z⋅zn−1=zn=1z \cdot z^{n-1} = z^n = 1.
33 puncte
Înmulțirea numerelor complexe este comutativă, deci pentru orice z1,z2∈Gnz_1, z_2 \in G_n, z1z2=z2z1z_1 z_2 = z_2 z_1, adică grupul este abelian.
42 puncte
Subgrupurile lui GnG_n sunt de forma GdG_d unde dd divide nn; fiecare GdG_d este generat de o rădăcină primitivă de ordinul dd, de exemplu e2πi/de^{2\pi i / d}, deci este ciclic.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.