MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea G=R∖{1}G = \mathbb{R} \setminus \{1\} și operația ∗* definită prin a∗b=a+b−aba * b = a + b - ab pentru orice a,b∈Ga, b \in G. a) Verificați dacă (G,∗)(G, *) este un grup. b) Determinați elementul neutru și inversul unui element arbitrar x∈Gx \in G. c) Rezolvați ecuația x∗2=3x * 2 = 3 în GG.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Verificați închiderea: pentru orice a,b∈Ga, b \in G, a∗b=a+b−aba * b = a + b - ab. Trebuie arătat că a∗b≠1a * b \neq 1 pentru a fi în GG. Dacă a∗b=1a * b = 1, atunci a+b−ab=1⇒(a−1)(b−1)=0a + b - ab = 1 \Rightarrow (a-1)(b-1)=0, deci a=1a=1 sau b=1b=1, ceea ce contrazice a,b∈Ga,b \in G. Așadar, a∗b∈Ga * b \in G. Verificați asociativitatea: (a∗b)∗c=(a+b−ab)∗c=(a+b−ab)+c−(a+b−ab)c=a+b+c−ab−ac−bc+abc(a * b) * c = (a+b-ab) * c = (a+b-ab) + c - (a+b-ab)c = a+b+c - ab - ac - bc + abc, și a∗(b∗c)=a∗(b+c−bc)=a+(b+c−bc)−a(b+c−bc)=a+b+c−ab−ac−bc+abca * (b * c) = a * (b+c-bc) = a + (b+c-bc) - a(b+c-bc) = a+b+c - ab - ac - bc + abc, deci operația este asociativă.
23 puncte
Găsiți elementul neutru ee: rezolvați a∗e=aa * e = a pentru orice a∈Ga \in G. a∗e=a+e−ae=a⇒e−ae=0⇒e(1−a)=0a * e = a + e - ae = a \Rightarrow e - ae = 0 \Rightarrow e(1-a)=0. Deoarece a≠1a \neq 1, obținem e=0e=0. Verificați că 0∗a=0+a−0⋅a=a0 * a = 0 + a - 0 \cdot a = a, deci e=0e=0 este elementul neutru.
32 puncte
Pentru un element x∈Gx \in G, găsiți inversul x′x' astfel încât x∗x′=0x * x' = 0. Rezolvați x∗x′=x+x′−xx′=0⇒x′(1−x)=−x⇒x′=xx−1x * x' = x + x' - xx' = 0 \Rightarrow x'(1-x) = -x \Rightarrow x' = \frac{x}{x-1}, deoarece x≠1x \neq 1. Verificați că x∗xx−1=0x * \frac{x}{x-1} = 0.
42 puncte
Rezolvați ecuația x∗2=3x * 2 = 3. Înlocuiți: x∗2=x+2−2x=3⇒−x+2=3⇒−x=1⇒x=−1x * 2 = x + 2 - 2x = 3 \Rightarrow -x + 2 = 3 \Rightarrow -x = 1 \Rightarrow x = -1. Verificați că −1∈G-1 \in G deoarece −1≠1-1 \neq 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.