MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compoziție
Fie (G,⋅)(G, \cdot) un grup abelian și H={x∈G∣x2=e}H = \{ x \in G \mid x^2 = e \}, unde ee este elementul neutru al lui GG. Demonstrați că HH este subgrup al lui GG.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
11 punct
HH este nevăzută: e∈He \in H deoarece e2=ee^2 = e.
24 puncte
Închiderea: pentru orice x,y∈Hx, y \in H, avem x2=ex^2 = e și y2=ey^2 = e. Deoarece GG este abelian, xy=yxxy = yx, deci (xy)2=xyxy=x2y2=e⋅e=e(xy)^2 = xyxy = x^2 y^2 = e \cdot e = e, adică xy∈Hxy \in H.
33 puncte
Inversul: pentru orice x∈Hx \in H, x2=ex^2 = e implică x−1=xx^{-1} = x. Atunci (x−1)2=x2=e(x^{-1})^2 = x^2 = e, deci x−1∈Hx^{-1} \in H.
42 puncte
Concluzia: HH satisface condițiile pentru a fi subgrup (nevăzut, închis la operație și închis la inversare), deci HH este subgrup al lui GG.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.