MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriNumere Complexe
Fie mulțimea G={z∈C∣∣z∣=1}G = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1 \} și operația ∗* definită prin z1∗z2=z1⋅z2z_1 * z_2 = z_1 \cdot z_2 (înmulțirea complexă). Arătați că (G,∗)(G, *) este un grup. Apoi determinați dacă submulțimea H={z∈G∣Re(z)=0}H = \{ z \in G \mid \text{Re}(z) = 0 \} este subgrup al lui GG.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificarea închiderii: pentru orice z1,z2∈Gz_1, z_2 \in G, ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1, deci ∣z1∗z2∣=∣z1⋅z2∣=∣z1∣⋅∣z2∣=1|z_1 * z_2| = |z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2| = 1, deci z1∗z2∈Gz_1 * z_2 \in G.
22 puncte
Asociativitatea: înmulțirea complexă este asociativă, deci pentru orice z1,z2,z3∈Gz_1, z_2, z_3 \in G, (z1∗z2)∗z3=z1∗(z2∗z3)(z_1 * z_2) * z_3 = z_1 * (z_2 * z_3).
32 puncte
Elementul neutru: e=1∈Ge = 1 \in G deoarece ∣1∣=1|1| = 1, și pentru orice z∈Gz \in G, z∗1=z⋅1=zz * 1 = z \cdot 1 = z.
42 puncte
Elemente inverse: pentru orice z∈Gz \in G, ∣z∣=1|z| = 1, deci z−1=zˉ∈Gz^{-1} = \bar{z} \in G și z∗zˉ=∣z∣2=1=ez * \bar{z} = |z|^2 = 1 = e.
52 puncte
Verificarea lui HH: H={i,−i}H = \{ i, -i \} (deoarece Re(z)=0\text{Re}(z) = 0 și ∣z∣=1|z|=1 implică z=±iz = \pm i). Se verifică criteriile de subgrup: HH este nevidă, închisă la operație (ex: i∗i=−1∉Hi * i = -1 \notin H), deci HH nu este subgrup.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.