MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compoziție
Se consideră mulțimea G={x∈R∣x>0}G = \{ x \in \mathbb{R} \mid x > 0 \} și operația ∗* definită prin x∗y=xyx * y = x^y pentru orice x,y∈Gx, y \in G. Arătați că (G,∗)(G, *) nu este un grup. Demonstrați care axiomă nu este satisfăcută.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Enunțați cele patru axiome ale unui grup (închiderea, asociativitatea, existența elementului neutru, existența inverselor).
24 puncte
Verificați asociativitatea operației ∗*; calculați (x∗y)∗z(x * y) * z și x∗(y∗z)x * (y * z) pentru x,y,z∈Gx, y, z \in G, adică (xy)z(x^y)^z și x(yz)x^{(y^z)}.
33 puncte
Arătați că, în general, (xy)z≠x(yz)(x^y)^z \neq x^{(y^z)} (de exemplu, pentru x=2,y=2,z=3x=2, y=2, z=3), deci operația nu este asociativă și (G,∗)(G, *) nu este grup.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.