MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compoziție
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu elementul neutru ee. Pentru un element a∈Ga \in G, ordinul lui aa, notat ord(a)\text{ord}(a), este cel mai mic număr întreg pozitiv nn astfel încât an=ea^n = e. Demonstrați că dacă a,b∈Ga, b \in G sunt astfel încât a∗b=b∗aa*b = b*a și ord(a)\text{ord}(a) și ord(b)\text{ord}(b) sunt coprime, atunci ord(a∗b)=ord(a)⋅ord(b)\text{ord}(a*b) = \text{ord}(a) \cdot \text{ord}(b).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Scrieți definițiile ordinului și condiția de comutativitate; adică ord(a)\text{ord}(a) este cel mai mic n>0n > 0 cu an=ea^n = e, și similar pentru bb, iar a∗b=b∗aa*b = b*a.
24 puncte
Fie m=ord(a)m = \text{ord}(a) și n=ord(b)n = \text{ord}(b). Arătați că (a∗b)mn=e(a*b)^{m n} = e folosind comutativitatea și faptul că am=ea^m = e și bn=eb^n = e.
34 puncte
Demonstrați că niciun divizor propriu al lui mnm n nu poate fi ordinul lui a∗ba*b; presupunând că ord(a∗b)=d\text{ord}(a*b) = d cu d∣mnd \mid m n și d<mnd < m n, deduceți contradicție folosind faptul că mm și nn sunt coprime.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.