MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriTeoria Mulțimilor
Fie grupul ciclic G=(Z12,+)G = (\mathbb{Z}_{12}, +). Determinați toate subgrupurile lui GG.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Un subgrup al unui grup ciclic este ciclic și generat de un divizor al ordinului grupului. Ordinul lui GG este 12, deci subgrupurile sunt generate de elementele ale căror ordine divid pe 12.
24 puncte
Divizorii pozitivi ai lui 12 sunt: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Subgrupurile corespunzătoare sunt: ⟨0⟩={0}\langle 0 \rangle = \{0\} (ordin 1), ⟨6⟩={0,6}\langle 6 \rangle = \{0,6\} (ordin 2), ⟨4⟩={0,4,8}\langle 4 \rangle = \{0,4,8\} (ordin 3), ⟨3⟩={0,3,6,9}\langle 3 \rangle = \{0,3,6,9\} (ordin 4), ⟨2⟩={0,2,4,6,8,10}\langle 2 \rangle = \{0,2,4,6,8,10\} (ordin 6), ⟨1⟩=G\langle 1 \rangle = G (ordin 12).
33 puncte
Verificăm că fiecare mulțime este închisă față de adunare modulo 12 și conține inversul fiecărui element. De exemplu, pentru ⟨2⟩\langle 2 \rangle, adunând oricare două elemente din mulțime, rezultatul este tot în mulțime, și inversul lui kk este 12−k12-k modulo 12, care este în mulțime.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.