MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compoziție
Într-un grup (G,∗)(G, \ast), se consideră elementele aa și bb. Demonstrați că dacă (a∗b)2=a2∗b2(a \ast b)^2 = a^2 \ast b^2, atunci a∗b=b∗aa \ast b = b \ast a. Apoi, construiți un exemplu de grup necomutativ de ordinul 6, cum ar fi grupul simetric S3S_3, și arătați că există elemente a,b∈S3a, b \in S_3 astfel încât (a∗b)2≠a2∗b2(a \ast b)^2 \neq a^2 \ast b^2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Din (ab)2=a2b2(ab)^2 = a^2 b^2, obținem abab=aabbabab = aabb. Înmulțind la stânga cu a−1a^{-1} și la dreapta cu b−1b^{-1}, avem a−1(abab)b−1=a−1(aabb)b−1a^{-1}(abab)b^{-1} = a^{-1}(aabb)b^{-1}, ceea ce implică ba=abba = ab, deci ab=baab = ba.
23 puncte
Grupul simetric S3S_3 constă din permutările a trei elemente cu operația de compunere. Descrieți două elemente, de exemplu a=(1 2)a = (1\ 2) și b=(1 3)b = (1\ 3) în notație ciclică.
33 puncte
Calculați ab=(1 2)(1 3)=(1 3 2)ab = (1\ 2)(1\ 3) = (1\ 3\ 2), apoi (ab)2=(1 3 2)2=(1 2 3)(ab)^2 = (1\ 3\ 2)^2 = (1\ 2\ 3). Calculați a2=(1 2)2=ea^2 = (1\ 2)^2 = e (permutarea identică) și b2=(1 3)2=eb^2 = (1\ 3)^2 = e, deci a2b2=ea^2 b^2 = e. Dar (ab)2=(1 2 3)≠e(ab)^2 = (1\ 2\ 3) \neq e, deci (ab)2≠a2b2(ab)^2 \neq a^2 b^2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.