MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriNumere Complexe
Fie n∈N∗n \in \mathbb{N}^* și mulțimea G={e2πik/n∣k=0,1,…,n−1}G = \{ e^{2\pi i k / n} \mid k = 0, 1, \dots, n-1 \} cu operația de înmulțire a numerelor complexe. Arătați că (G,⋅)(G, \cdot) este un grup ciclic.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Arătați că pentru orice z1,z2∈Gz_1, z_2 \in G, avem z1⋅z2∈Gz_1 \cdot z_2 \in G, deoarece e2πik1/n⋅e2πik2/n=e2πi(k1+k2)/ne^{2\pi i k_1 / n} \cdot e^{2\pi i k_2 / n} = e^{2\pi i (k_1 + k_2) / n} și (k1+k2)mod  n(k_1 + k_2) \mod n este în {0,1,…,n−1}\{0,1,\dots,n-1\}.\n
22 puncte
Demonstrați că operația este asociativă, folosind asociativitatea înmulțirii numerelor complexe: (z1⋅z2)⋅z3=z1⋅(z2⋅z3)(z_1 \cdot z_2) \cdot z_3 = z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3) pentru orice z1,z2,z3∈Gz_1, z_2, z_3 \in G.\n
32 puncte
Identificați elementul neutru e2πi⋅0/n=1e^{2\pi i \cdot 0 / n} = 1 și arătați că 1∈G1 \in G pentru k=0k=0.\n
42 puncte
Pentru fiecare z=e2πik/nz = e^{2\pi i k / n}, inversul este e2πi(n−k)/ne^{2\pi i (n-k) / n} și arătați că aparține lui GG, deoarece (n−k)mod  n(n-k) \mod n este în {0,1,…,n−1}\{0,1,\dots,n-1\}.\n
52 puncte
Arătați că grupul este ciclic cu generatorul e2πi/ne^{2\pi i / n}, deoarece orice element e2πik/ne^{2\pi i k / n} poate fi scris ca (e2πi/n)k(e^{2\pi i / n})^k.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.