MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compoziție
Fie mulțimea H={e,a,b,c}H = \{ e, a, b, c \} și operația ∗* definită prin tabelul: ∗eabceeabcaaecbbbceaccbae\begin{array}{c|cccc} * & e & a & b & c \\ \hline e & e & a & b & c \\ a & a & e & c & b \\ b & b & c & e & a \\ c & c & b & a & e \end{array} Verificați dacă (H,∗)(H, *) este un grup. Dacă da, determinați dacă este abelian și găsiți toate subgrupurile sale.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificați dacă operația este închisă pe HH: din tabel, rezultatul oricărei operații între elemente din HH este tot în HH.\n
22 puncte
Verificați asociativitatea operației prin examinarea tuturor tripletelor (x,y,z)∈H3(x,y,z) \in H^3 sau observați că operația corespunde grupului lui Klein, care este asociativ.\n
32 puncte
Identificați elementul neutru ee, deoarece e∗x=x∗e=xe * x = x * e = x pentru orice x∈Hx \in H.\n
42 puncte
Verificați existența inverselor: fiecare element este propriul invers, deoarece x∗x=ex * x = e pentru x∈{e,a,b,c}x \in \{e,a,b,c\} (cu e∗e=ee * e = e).\n
52 puncte
Determinați că grupul este abelian, deoarece x∗y=y∗xx * y = y * x pentru orice x,y∈Hx,y \in H (simetria tabelului), și găsiți subgrupurile: {e}\{e\}, {e,a}\{e, a\}, {e,b}\{e, b\}, {e,c}\{e, c\}, și HH însuși.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.