MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compoziție
Fie mulțimea G={x∈R∣x>−1}G = \{ x \in \mathbb{R} \mid x > -1 \} și operația ∗* definită prin x∗y=x+y+xyx * y = x + y + xy. Să se demonstreze că (G,∗)(G, *) este un grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificăm închiderea: pentru orice x,y∈Gx, y \in G, avem x>−1x > -1 și y>−1y > -1. Atunci x∗y=x+y+xyx * y = x + y + xy. Arătăm că x∗y>−1x * y > -1 folosind inegalități.
23 puncte
Verificăm asociativitatea: pentru orice x,y,z∈Gx, y, z \in G, calculăm (x∗y)∗z=x+y+z+xy+xz+yz+xyz(x * y) * z = x + y + z + xy + xz + yz + xyz și x∗(y∗z)=x+y+z+xy+xz+xyzx * (y * z) = x + y + z + xy + xz + xyz, observând că sunt egale.
32 puncte
Căutăm elementul neutru ee: din x∗e=xx * e = x, obținem e(1+x)=0e(1+x) = 0, deci e=0e=0. Verificăm că 0∈G0 \in G deoarece 0>−10 > -1.
42 puncte
Pentru fiecare x∈Gx \in G, căutăm inversul x′x': din x∗x′=0x * x' = 0, obținem x′=−x1+xx' = \frac{-x}{1+x}. Arătăm că x′>−1x' > -1 pentru x>−1x > -1.
51 punct
Concluzionăm că (G,∗)(G, *) satisface toate axiomele unui grup.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.