MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriMatriciTrigonometrie
Se consideră mulțimea H={Aθ=(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)∣θ∈R}H = \left\{ A_\theta = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \mid \theta \in \mathbb{R} \right\} cu operația de înmulțire a matricelor. Arătați că (H,⋅)(H, \cdot) este un grup comutativ.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificăm închiderea. Pentru orice Aθ,Aϕ∈HA_\theta, A_\phi \in H, avem Aθ⋅Aϕ=(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)(cos⁡ϕ−sin⁡ϕsin⁡ϕcos⁡ϕ)=(cos⁡θcos⁡ϕ−sin⁡θsin⁡ϕ−cos⁡θsin⁡ϕ−sin⁡θcos⁡ϕsin⁡θcos⁡ϕ+cos⁡θsin⁡ϕ−sin⁡θsin⁡ϕ+cos⁡θcos⁡ϕ)=(cos⁡(θ+ϕ)−sin⁡(θ+ϕ)sin⁡(θ+ϕ)cos⁡(θ+ϕ))=Aθ+ϕ∈HA_\theta \cdot A_\phi = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \phi & -\sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta \cos \phi - \sin \theta \sin \phi & -\cos \theta \sin \phi - \sin \theta \cos \phi \\ \sin \theta \cos \phi + \cos \theta \sin \phi & -\sin \theta \sin \phi + \cos \theta \cos \phi \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(\theta+\phi) & -\sin(\theta+\phi) \\ \sin(\theta+\phi) & \cos(\theta+\phi) \end{pmatrix} = A_{\theta+\phi} \in H.
22 puncte
Asociativitatea este moștenită de la înmulțirea matricelor, deoarece înmulțirea matricelor este asociativă.
32 puncte
Elementul neutru. Pentru θ=0\theta = 0, avem A0=(1001)=I2A_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2, care este elementul neutru pentru înmulțirea matricelor și A0∈HA_0 \in H.
42 puncte
Inversul. Pentru orice Aθ∈HA_\theta \in H, considerăm A−θ=(cos⁡(−θ)−sin⁡(−θ)sin⁡(−θ)cos⁡(−θ))=(cos⁡θsin⁡θ−sin⁡θcos⁡θ)A_{-\theta} = \begin{pmatrix} \cos(-\theta) & -\sin(-\theta) \\ \sin(-\theta) & \cos(-\theta) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}. Se verifică că Aθ⋅A−θ=Aθ+(−θ)=A0=I2A_\theta \cdot A_{-\theta} = A_{\theta + (-\theta)} = A_0 = I_2, deci A−θA_{-\theta} este inversul lui AθA_\theta și A−θ∈HA_{-\theta} \in H.
52 puncte
Comutativitatea. Pentru orice Aθ,Aϕ∈HA_\theta, A_\phi \in H, avem Aθ⋅Aϕ=Aθ+ϕA_\theta \cdot A_\phi = A_{\theta+\phi} și Aϕ⋅Aθ=Aϕ+θ=Aθ+ϕA_\phi \cdot A_\theta = A_{\phi+\theta} = A_{\theta+\phi}, deci operația este comutativă. Așadar, (H,⋅)(H, \cdot) este un grup comutativ.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.