MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compoziție
Se consideră mulțimea H=R∖{1}H = \mathbb{R} \setminus \{1\} și legea de compoziție ∗* definită prin x∗y=x+y−xyx * y = x + y - xy pentru orice x,y∈Hx, y \in H. Studiați dacă (H,∗)(H, *) este un grup. Dacă da, determinați subgrupul generat de elementul 22.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
13 puncte
Se verifică asociativitatea: pentru x,y,z∈Hx, y, z \in H, (x∗y)∗z=x+y+z−xy−xz−yz+xyz=x∗(y∗z)(x * y) * z = x + y + z - xy - xz - yz + xyz = x * (y * z).
22 puncte
Elementul neutru ee satisface x∗e=xx * e = x pentru orice x∈Hx \in H; din x+e−xe=xx + e - xe = x se obține e(1−x)=0e(1-x)=0, iar cum x≠1x \neq 1, rezultă e=0∈He=0 \in H.
32 puncte
Pentru x∈Hx \in H, inversul x′x' satisface x∗x′=0x * x' = 0; din x+x′−xx′=0x + x' - xx' = 0 se obține x′=−x1−xx' = \frac{-x}{1-x}, care aparține lui HH deoarece −x1−x≠1\frac{-x}{1-x} \neq 1 pentru x≠1x \neq 1.
42 puncte
Închiderea: pentru x,y∈Hx, y \in H, dacă x∗y=1x * y = 1, atunci x+y−xy=1x + y - xy = 1, deci (x−1)(y−1)=0(x-1)(y-1)=0, imposibil deoarece x,y≠1x,y \neq 1, așadar x∗y∈Hx * y \in H.
51 punct
Subgrupul generat de 22: se calculează 21=22^1 = 2, 22=2∗2=02^2 = 2 * 2 = 0, 23=0∗2=22^3 = 0 * 2 = 2, deci ordinul lui 22 este 22, iar subgrupul este {2,0}\{2, 0\}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.