MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriMatriciDeterminanți
Considerăm mulțimea M={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \} cu operația de înmulțire a matricelor. Studiați dacă (M,⋅)(M, \cdot) este un grup. Dacă da, arătați că este un grup, iar dacă nu, specificați care axiome nu sunt satisfăcute.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Verificăm închiderea: pentru A,B∈MA, B \in M, det⁡(A)=1\det(A)=1 și det⁡(B)=1\det(B)=1. Atunci det⁡(AB)=det⁡(A)det⁡(B)=1⋅1=1\det(AB) = \det(A)\det(B) = 1 \cdot 1 = 1, deci AB∈MAB \in M. Așadar, operația este închisă pe MM.
22 puncte
Asociativitatea: înmulțirea matricelor este asociativă, deci pentru orice A,B,C∈MA, B, C \in M, (AB)C=A(BC)(AB)C = A(BC).
32 puncte
Elementul neutru: matricea identitate I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} are det⁡(I2)=1\det(I_2)=1, deci I2∈MI_2 \in M. Pentru orice A∈MA \in M, AI2=I2A=AA I_2 = I_2 A = A, deci I2I_2 este elementul neutru.
43 puncte
Inversa: pentru orice A∈MA \in M, det⁡(A)=1\det(A)=1, deci AA este inversabilă în M2(R)M_2(\mathbb{R}). Inversa A−1A^{-1} are det⁡(A−1)=1det⁡(A)=1\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)} = 1, deci A−1∈MA^{-1} \in M. Mai mult, AA−1=A−1A=I2A A^{-1} = A^{-1} A = I_2, deci fiecare element are un invers în MM. Toate axiomele sunt satisfăcute, așadar (M,⋅)(M, \cdot) este un grup.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.