MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea G={x∈R∣x≠−1}G = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq -1 \} și operația ∗* definită prin x∗y=xy+x+yx * y = xy + x + y, pentru orice x,y∈Gx, y \in G. Arătați că (G,∗)(G, *) este grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verifică asociativitatea: calculează (x∗y)∗z=(xy+x+y)∗z=(xy+x+y)z+(xy+x+y)+z=xyz+xz+yz+xy+x+y+z(x * y) * z = (xy + x + y) * z = (xy + x + y)z + (xy + x + y) + z = xyz + xz + yz + xy + x + y + z și x∗(y∗z)=x∗(yz+y+z)=x(yz+y+z)+x+(yz+y+z)=xyz+xy+xz+x+yz+y+zx * (y * z) = x * (yz + y + z) = x(yz + y + z) + x + (yz + y + z) = xyz + xy + xz + x + yz + y + z, deci sunt egale.\n
22 puncte
Caută elementul neutru ee: din x∗e=xx * e = x, adică xe+x+e=xxe + x + e = x, rezultă xe+e=0xe + e = 0, deci e(x+1)=0e(x+1)=0. Cum x≠−1x \neq -1, avem e=0e=0.\n
32 puncte
Verifică că 00 este element neutru: x∗0=x⋅0+x+0=xx * 0 = x \cdot 0 + x + 0 = x și 0∗x=0⋅x+0+x=x0 * x = 0 \cdot x + 0 + x = x.\n
42 puncte
Găsește inversul: pentru x∈Gx \in G, fie x′x' astfel încât x∗x′=0x * x' = 0. Atunci xx′+x+x′=0xx' + x + x' = 0, deci x′(x+1)=−xx'(x+1) = -x, iar cum x≠−1x \neq -1, x′=−xx+1x' = \frac{-x}{x+1}.\n
52 puncte
Verifică că x′∈Gx' \in G: trebuie x′≠−1x' \neq -1, dar dacă −xx+1=−1\frac{-x}{x+1} = -1, atunci −x=−x−1-x = -x-1, imposibil, deci x′∈Gx' \in G.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.