MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie G=R∖{1}G = \mathbb{R} \setminus \{1\} și operația ∗* definită prin x∗y=x+y−xyx * y = x + y - xy, pentru orice x,y∈Gx, y \in G. Arătați că (G,∗)(G, *) este un grup comutativ. Determinați elementul neutru și simetricul fiecărui element.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificăm închiderea: pentru orice x,y∈Gx, y \in G, x∗y=x+y−xyx * y = x + y - xy. Dacă x∗y=1x * y = 1, atunci x+y−xy=1⇒(x−1)(y−1)=0x + y - xy = 1 \Rightarrow (x-1)(y-1)=0, deci x=1x=1 sau y=1y=1, dar x,y≠1x,y \neq 1 (din definiția lui GG), contradicție. Așadar, x∗y∈Gx * y \in G.
23 puncte
Determinăm elementul neutru ee astfel încât x∗e=xx * e = x pentru orice xx. Avem x∗e=x+e−xe=x⇒e(1−x)=0x * e = x + e - xe = x \Rightarrow e(1-x)=0. Pentru a fi adevărat pentru orice xx, trebuie e=0e=0. Verificăm: x∗0=x+0−x⋅0=xx * 0 = x + 0 - x\cdot0 = x și 0∗x=0+x−0⋅x=x0 * x = 0 + x - 0\cdot x = x, deci e=0e=0 este elementul neutru.
33 puncte
Determinăm simetricul x′x' pentru fiecare x∈Gx \in G, astfel încât x∗x′=e=0x * x' = e = 0. Avem x∗x′=x+x′−xx′=0⇒x′(1−x)=−x⇒x′=−x1−xx * x' = x + x' - xx' = 0 \Rightarrow x'(1-x) = -x \Rightarrow x' = \frac{-x}{1-x}, pentru x≠1x \neq 1. Deoarece x∈Gx \in G, x≠1x \neq 1, deci x′x' există și x′∈Gx' \in G (dacă x′=1x' = 1, atunci −x1−x=1⇒−x=1−x⇒0=1\frac{-x}{1-x}=1 \Rightarrow -x=1-x \Rightarrow 0=1, fals).
42 puncte
Verificăm asociativitatea: pentru orice x,y,z∈Gx, y, z \in G, (x∗y)∗z=(x+y−xy)∗z=(x+y−xy)+z−(x+y−xy)z=x+y+z−xy−xz−yz+xyz(x * y) * z = (x + y - xy) * z = (x+y-xy) + z - (x+y-xy)z = x+y+z - xy - xz - yz + xyz. Similar, x∗(y∗z)=x∗(y+z−yz)=x+(y+z−yz)−x(y+z−yz)=x+y+z−yz−xy−xz+xyzx * (y * z) = x * (y+z - yz) = x + (y+z-yz) - x(y+z-yz) = x+y+z - yz - xy - xz + xyz, care este același, deci operația este asociativă. Comutativitatea rezultă din simetria definiției: x∗y=x+y−xy=y+x−yx=y∗xx * y = x+y-xy = y+x-yx = y * x.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.