MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie HH un subgrup al grupului (Z,+)(\mathbb{Z}, +). Arătați că există n∈Nn \in \mathbb{N} astfel încât H=nZH = n\mathbb{Z}. Aplicați acest rezultat pentru a determina toate subgrupurile grupului (Z12,+12)(\mathbb{Z}_{12}, +_{12}).

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
15 puncte
Dacă H={0}H = \{0\}, atunci H=0ZH = 0\mathbb{Z}. Dacă H≠{0}H \neq \{0\}, fie n=min⁡{h∈H∣h>0}n = \min\{ h \in H \mid h > 0 \}. Arătăm că H=nZH = n\mathbb{Z}: pentru orice h∈Hh \in H, folosind teorema împărțirii cu rest, h=nq+rh = nq + r cu 0≤r<n0 \le r < n. Atunci r=h−nq∈Hr = h - nq \in H, iar din minimalitatea lui nn, rezultă r=0r = 0, deci h=nqh = nq. Invers, orice multiplu al lui nn aparține lui HH, deoarece n∈Hn \in H și HH este subgrup.
25 puncte
Grupul (Z12,+12)(\mathbb{Z}_{12}, +_{12}) este izomorf cu Z/12Z\mathbb{Z} / 12\mathbb{Z}. Subgrupurile lui Z12\mathbb{Z}_{12} corespund subgrupurilor lui Z\mathbb{Z} care conțin 12Z12\mathbb{Z}, adică sunt de forma dZ/12Zd\mathbb{Z} / 12\mathbb{Z} unde dd divide 1212. Divizorii lui 1212 sunt 1,2,3,4,6,121,2,3,4,6,12. Subgrupurile sunt: ⟨1⟩=Z12\langle 1 \rangle = \mathbb{Z}_{12}, ⟨2⟩={0,2,4,6,8,10}\langle 2 \rangle = \{0,2,4,6,8,10\}, ⟨3⟩={0,3,6,9}\langle 3 \rangle = \{0,3,6,9\}, ⟨4⟩={0,4,8}\langle 4 \rangle = \{0,4,8\}, ⟨6⟩={0,6}\langle 6 \rangle = \{0,6\}, ⟨12⟩={0}\langle 12 \rangle = \{0\}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.