MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compoziție
Fie G={x∈R∣x>0}G = \{ x \in \mathbb{R} \mid x > 0 \} și operația ∗* definită prin x∗y=x2+y2x * y = \sqrt{x^2 + y^2} pentru orice x,y∈Gx, y \in G. Studiați dacă (G,∗)(G, *) este un grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verifică închiderea: pentru orice x,y∈Gx, y \in G, x∗y=x2+y2>0x * y = \sqrt{x^2 + y^2} > 0, deci x∗y∈Gx * y \in G.
23 puncte
Verifică asociativitatea: pentru orice x,y,z∈Gx, y, z \in G, (x∗y)∗z=(x2+y2)2+z2=x2+y2+z2(x * y) * z = \sqrt{(\sqrt{x^2 + y^2})^2 + z^2} = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} și x∗(y∗z)=x2+(y2+z2)2=x2+y2+z2x * (y * z) = \sqrt{x^2 + (\sqrt{y^2 + z^2})^2} = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}, deci operația este asociativă.
32 puncte
Căutăm elementul neutru ee astfel încât x∗e=xx * e = x pentru orice x∈Gx \in G. Din x∗e=x2+e2=xx * e = \sqrt{x^2 + e^2} = x, rezultă x2+e2=x2x^2 + e^2 = x^2, deci e2=0e^2 = 0, adică e=0e = 0, dar 0∉G0 \notin G. Prin urmare, nu există element neutru.
43 puncte
Deoarece nu există element neutru, nu se pot defini elemente inverse. Astfel, (G,∗)(G, *) nu este un grup.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.