MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compoziție
Fie mulțimea G={1,2,3,4,5,6}G = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} și operația ∗* definită prin a∗b=(a⋅b)mod  7a * b = (a \cdot b) \mod 7. Arătați că (G,∗)(G, *) este un grup. Determinați ordinul elementului 33 în acest grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificăm închiderea: pentru orice a,b∈Ga, b \in G, a∗b=(ab)mod  7a * b = (ab) \mod 7. Deoarece aa și bb sunt din {1,2,3,4,5,6}\{1,2,3,4,5,6\}, iar 77 este prim, produsul abab nu este multiplu de 77, deci abmod  7∈{1,2,3,4,5,6}=Gab \mod 7 \in \{1,2,3,4,5,6\} = G.
22 puncte
Verificăm asociativitatea: înmulțirea întregilor este asociativă, iar operația mod păstrează această proprietate. Pentru orice a,b,c∈Ga, b, c \in G, (a∗b)∗c=((ab)mod  7∗c)=(((ab)mod  7)⋅c)mod  7=(abc)mod  7(a * b) * c = ((ab) \mod 7 * c) = (((ab) \mod 7) \cdot c) \mod 7 = (abc) \mod 7. Similar, a∗(b∗c)=(a⋅((bc)mod  7))mod  7=(abc)mod  7a * (b * c) = (a \cdot ((bc) \mod 7)) \mod 7 = (abc) \mod 7, deci operația este asociativă.
31 punct
Elementul neutru este 11, deoarece a∗1=(a⋅1)mod  7=amod  7=aa * 1 = (a \cdot 1) \mod 7 = a \mod 7 = a și 1∗a=a1 * a = a pentru orice a∈Ga \in G.
42 puncte
Găsim inversele: pentru fiecare a∈Ga \in G, există b∈Gb \in G astfel încât a∗b=1mod  7a * b = 1 \mod 7. Specific, 1−1=11^{-1}=1, 2−1=42^{-1}=4 (deoarece 2⋅4=8≡1mod  72 \cdot 4 = 8 \equiv 1 \mod 7), 3−1=53^{-1}=5, 4−1=24^{-1}=2, 5−1=35^{-1}=3, 6−1=66^{-1}=6.
53 puncte
Calculăm ordinul lui 33: găsim cea mai mică putere pozitivă kk astfel încât 3kmod  7=13^k \mod 7 = 1. Calculăm: 31≡3mod  73^1 \equiv 3 \mod 7, 32≡2mod  73^2 \equiv 2 \mod 7, 33≡6mod  73^3 \equiv 6 \mod 7, 34≡4mod  73^4 \equiv 4 \mod 7, 35≡5mod  73^5 \equiv 5 \mod 7, 36≡1mod  73^6 \equiv 1 \mod 7. Deci ordinul lui 33 este 66.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.