MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriCombinatorică
Considerăm grupul S3S_3 al permutărilor mulțimii {1,2,3}\{1,2,3\} cu operația de compunere. Arătați că S3S_3 nu este abelian și determinați toate subgrupurile sale.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Definiți S3S_3 cu cele 6 elemente: ee (identitatea), (12)(12), (13)(13), (23)(23), (123)(123), (132)(132). Operația este compunerea permutărilor, notată ∘\circ, efectuată de la dreapta la stânga.
23 puncte
Arătați că S3S_3 nu este abelian: luați σ=(12)\sigma = (12) și τ=(13)\tau = (13). Calculați σ∘τ=(12)(13)=(132)\sigma \circ \tau = (12)(13) = (132) și τ∘σ=(13)(12)=(123)\tau \circ \sigma = (13)(12) = (123). Cum (132)≠(123)(132) \neq (123), rezultă σ∘τ≠τ∘σ\sigma \circ \tau \neq \tau \circ \sigma, deci S3S_3 nu este abelian.
35 puncte
Determinați toate subgrupurile: subgrupurile triviale {e}\{e\} și S3S_3; subgrupurile de ordin 2: {e,(12)}\{e, (12)\}, {e,(13)}\{e, (13)\}, {e,(23)}\{e, (23)\}; subgrupul de ordin 3: {e,(123),(132)}\{e, (123), (132)\}. Verificați pentru fiecare că este închis sub compunere (exemplu: (123)∘(123)=(132)(123) \circ (123) = (132)) și conține elementul neutru ee.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.