MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea G={a+b2∣a,b∈Z}G = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu operația de adunare. Arătați că (G,+)(G, +) este un grup abelian. Apoi, definim operația ⊙\odot pe GG prin (a+b2)⊙(c+d2)=ac+2bd+(ad+bc)2(a+b\sqrt{2}) \odot (c+d\sqrt{2}) = ac + 2bd + (ad+bc)\sqrt{2}. Demonstrați că (G,⊙)(G, \odot) este un monoid comutativ, dar nu este un grup. Găsiți elementele inversabile în (G,⊙)(G, \odot).

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
13 puncte
Verificăm închiderea, asociativitatea, existența elementului neutru și a inversului pentru adunare. Adunarea este închisă: (a+b2)+(c+d2)=(a+c)+(b+d)2∈G(a+b\sqrt{2}) + (c+d\sqrt{2}) = (a+c) + (b+d)\sqrt{2} \in G. Asociativitatea decurge din asociativitatea adunării numerelor reale. Elementul neutru este 0=0+020 = 0 + 0\sqrt{2}. Inversul lui a+b2a+b\sqrt{2} este −a−b2-a - b\sqrt{2}.
21 punct
Comutativitatea pentru adunare: (a+b2)+(c+d2)=(c+d2)+(a+b2)(a+b\sqrt{2}) + (c+d\sqrt{2}) = (c+d\sqrt{2}) + (a+b\sqrt{2}).
33 puncte
Pentru operația ⊙\odot, verificăm închiderea: (a+b2)⊙(c+d2)=ac+2bd+(ad+bc)2(a+b\sqrt{2}) \odot (c+d\sqrt{2}) = ac + 2bd + (ad+bc)\sqrt{2}, cu a,b,c,d∈Za,b,c,d \in \mathbb{Z}, deci rezultatul este în GG. Asociativitatea: se poate verifica prin calcul direct sau observând că ⊙\odot corespunde înmulțirii numerelor de forma a+b2a+b\sqrt{2} în R\mathbb{R}. Elementul neutru este 1=1+021 = 1 + 0\sqrt{2}.
41 punct
Comutativitatea pentru ⊙\odot: (a+b2)⊙(c+d2)=(c+d2)⊙(a+b2)(a+b\sqrt{2}) \odot (c+d\sqrt{2}) = (c+d\sqrt{2}) \odot (a+b\sqrt{2}).
52 puncte
(G,⊙)(G, \odot) nu este grup deoarece nu toate elementele au invers. Un element a+b2a+b\sqrt{2} este inversabil dacă există c+d2c+d\sqrt{2} astfel încât (a+b2)⊙(c+d2)=1(a+b\sqrt{2}) \odot (c+d\sqrt{2}) = 1. Aceasta conduce la sistemul {ac+2bd=1ad+bc=0\begin{cases} ac + 2bd = 1 \\ ad + bc = 0 \end{cases}. Soluțiile întregi există doar dacă a2−2b2=±1a^2 - 2b^2 = \pm 1. Deci, elementele inversabile sunt cele cu a2−2b2=±1a^2 - 2b^2 = \pm 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.