MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere RealeLegi de compoziție
Fie mulțimea G=R∖{−1}G = \mathbb{R} \setminus \{-1\} și operația ∗* definită prin a∗b=a+b+aba * b = a + b + ab pentru orice a,b∈Ga, b \in G. Arătați că (G,∗)(G, *) este un grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Verificăm că operația este închisă pe GG. Pentru a,b∈Ga, b \in G, avem a∗b=a+b+aba * b = a + b + ab. Trebuie să arătăm că a+b+ab≠−1a + b + ab \neq -1. Presupunând prin absurd că a+b+ab=−1a + b + ab = -1, obținem (a+1)(b+1)=0(a+1)(b+1)=0, deci a=−1a=-1 sau b=−1b=-1, contradicție cu a,b∈Ga, b \in G. Așadar, a∗b∈Ga * b \in G.
23 puncte
Verificăm asociativitatea. Pentru a,b,c∈Ga, b, c \in G, calculăm (a∗b)∗c=(a+b+ab)∗c=a+b+ab+c+(a+b+ab)c=a+b+c+ab+ac+bc+abc(a * b) * c = (a + b + ab) * c = a + b + ab + c + (a + b + ab)c = a + b + c + ab + ac + bc + abc și a∗(b∗c)=a∗(b+c+bc)=a+b+c+bc+a(b+c+bc)=a+b+c+ab+ac+bc+abca * (b * c) = a * (b + c + bc) = a + b + c + bc + a(b + c + bc) = a + b + c + ab + ac + bc + abc. Cele două expresii sunt egale, deci operația este asociativă.
32 puncte
Determinăm elementul neutru. Căutăm e∈Ge \in G astfel încât a∗e=aa * e = a pentru orice a∈Ga \in G. Din a∗e=a+e+ae=aa * e = a + e + ae = a, obținem e(1+a)=0e(1+a) = 0. Cum a≠−1a \neq -1, avem e=0e=0. Verificăm că 0∗a=0+a+0⋅a=a0 * a = 0 + a + 0 \cdot a = a, deci e=0e=0 este elementul neutru.
42 puncte
Determinăm inversul fiecărui element. Pentru a∈Ga \in G, căutăm a′∈Ga' \in G astfel încât a∗a′=0a * a' = 0. Din a+a′+aa′=0a + a' + aa' = 0, obținem a′(1+a)=−aa'(1+a) = -a, iar cum a≠−1a \neq -1, avem a′=−a1+aa' = \frac{-a}{1+a}. Verificăm că a′∈Ga' \in G (deoarece a≠−1a \neq -1, numitorul nu este zero) și că a∗a′=0a * a' = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.