MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuri
Fie (G,⋅)(G, \cdot) un grup cu elementul neutru ee. Demonstrați că dacă pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, atunci grupul este abelian.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Enunțăm condiția dată: pentru fiecare x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e.
24 puncte
Considerăm două elemente arbitrare a,b∈Ga, b \in G. Atunci a2=ea^2 = e, b2=eb^2 = e, și din condiție, (ab)2=e(ab)^2 = e.
34 puncte
Din (ab)2=e(ab)^2 = e, avem abab=eabab = e. Înmulțind această egalitate la stânga cu aa și la dreapta cu bb, obținem a(abab)b=aeba(abab)b = aeb, adică a2bab2=aba^2 b a b^2 = ab. Cum a2=ea^2 = e și b2=eb^2 = e, rezultă ba=abba = ab. Așadar, pentru orice a,b∈Ga, b \in G, ab=baab = ba, deci grupul este abelian.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.