MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriMatrici
Fie mulțimea M={(a−bba)∣a,b∈R,a2+b2≠0}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R}, a^2 + b^2 \neq 0 \right\}. Arătați că (M,⋅)(M, \cdot) este un grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verifică închiderea operației: pentru orice A=(a−bba)A = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} și B=(c−ddc)B = \begin{pmatrix} c & -d \\ d & c \end{pmatrix} din MM, produsul AB=(ac−bd−(ad+bc)ad+bcac−bd)AB = \begin{pmatrix} ac - bd & -(ad + bc) \\ ad + bc & ac - bd \end{pmatrix} are forma (x−yyx)\begin{pmatrix} x & -y \\ y & x \end{pmatrix} cu x=ac−bdx = ac - bd, y=ad+bcy = ad + bc și x2+y2=(a2+b2)(c2+d2)≠0x^2 + y^2 = (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) \neq 0, deci AB∈MAB \in M.
22 puncte
Asociativitatea este moștenită de la înmulțirea matricelor peste R\mathbb{R}, care este asociativă.
33 puncte
Identitatea: matricea I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} aparține lui MM (pentru a=1a=1, b=0b=0) și este element neutru, deoarece A⋅I2=I2⋅A=AA \cdot I_2 = I_2 \cdot A = A pentru orice A∈MA \in M.
43 puncte
Inversa: pentru orice A=(a−bba)∈MA = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \in M, determinantul este det⁡(A)=a2+b2≠0\det(A) = a^2 + b^2 \neq 0, deci inversa există și este A−1=1a2+b2(ab−ba)A^{-1} = \frac{1}{a^2 + b^2} \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}, care are forma (aa2+b2−−ba2+b2−ba2+b2aa2+b2)=(x−yyx)\begin{pmatrix} \frac{a}{a^2+b^2} & -\frac{-b}{a^2+b^2} \\ \frac{-b}{a^2+b^2} & \frac{a}{a^2+b^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x & -y \\ y & x \end{pmatrix} cu x=aa2+b2x = \frac{a}{a^2+b^2}, y=−ba2+b2y = \frac{-b}{a^2+b^2} și x2+y2=1a2+b2≠0x^2 + y^2 = \frac{1}{a^2+b^2} \neq 0, deci A−1∈MA^{-1} \in M.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.