MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriNumere Complexe
Fie G={z∈C∣∣z∣=1}G = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1 \} înzestrată cu operația de înmulțire a numerelor complexe. a) Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este un grup. b) Este acest grup ciclic? Justificați răspunsul.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Închiderea: pentru orice z,w∈Gz, w \in G, ∣z∣=1|z| = 1 și ∣w∣=1|w| = 1, atunci ∣z⋅w∣=∣z∣⋅∣w∣=1⋅1=1|z \cdot w| = |z| \cdot |w| = 1 \cdot 1 = 1, deci z⋅w∈Gz \cdot w \in G.
22 puncte
Asociativitatea este moștenită de la înmulțirea numerelor complexe.
32 puncte
Elementul neutru: 1∈C1 \in \mathbb{C} cu ∣1∣=1|1| = 1, deci 1∈G1 \in G, și z⋅1=1⋅z=zz \cdot 1 = 1 \cdot z = z pentru orice z∈Gz \in G.
42 puncte
Elementul invers: pentru orice z∈Gz \in G, ∣z∣=1|z| = 1, deci z−1=zˉz^{-1} = \bar{z} are ∣zˉ∣=1|\bar{z}| = 1, și z⋅zˉ=∣z∣2=1z \cdot \bar{z} = |z|^2 = 1, deci zˉ∈G\bar{z} \in G și este inversul lui zz.
52 puncte
Grupul GG nu este ciclic. Justificare: GG are o infinitate nenumărabilă de elemente (e.g., eiθe^{i\theta} cu θ∈R\theta \in \mathbb{R}), în timp ce orice grup ciclic este numărabil (finit sau infinit numărabil). Prin urmare, nu există un element generator care să producă toate elementele lui GG.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.