MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriNumere Complexe
Fie mulțimea G={z∈C∣∣z∣=1}G = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1 \} cu operația de înmulțire a numerelor complexe. Arătați că (G,⋅)(G, \cdot) este un grup. Apoi, determinați toate elementele de ordin finit din acest grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificăm închiderea: pentru orice z1,z2∈Gz_1, z_2 \in G, avem ∣z1⋅z2∣=∣z1∣⋅∣z2∣=1⋅1=1|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2| = 1 \cdot 1 = 1, deci z1⋅z2∈Gz_1 \cdot z_2 \in G.
22 puncte
Asociativitatea este moștenită de la înmulțirea numerelor complexe, deoarece (z1⋅z2)⋅z3=z1⋅(z2⋅z3)(z_1 \cdot z_2) \cdot z_3 = z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3) pentru orice z1,z2,z3∈Gz_1, z_2, z_3 \in G.
32 puncte
Elementul neutru este 11, întrucât ∣1∣=1|1| = 1 și pentru orice z∈Gz \in G, z⋅1=1⋅z=zz \cdot 1 = 1 \cdot z = z.
42 puncte
Pentru orice z∈Gz \in G, inversul este 1z\frac{1}{z}, iar ∣1z∣=1∣z∣=1\left|\frac{1}{z}\right| = \frac{1}{|z|} = 1, deci 1z∈G\frac{1}{z} \in G și z⋅1z=1z⋅z=1z \cdot \frac{1}{z} = \frac{1}{z} \cdot z = 1.
52 puncte
Un element z∈Gz \in G are ordin finit dacă există n∈N∗n \in \mathbb{N}^* astfel încât zn=1z^n = 1. Scriind z=eiθz = e^{i\theta} cu θ∈R\theta \in \mathbb{R}, condiția devine einθ=1e^{in\theta} = 1, adică nθ=2kπn\theta = 2k\pi pentru k∈Zk \in \mathbb{Z}. Deci, θ=2kπn\theta = \frac{2k\pi}{n} și elementele de ordin finit sunt toate rădăcinile de ordin nn ale unității, pentru n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.