GreuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

GreuLogaritmi
Fie a>0a > 0, a≠1a \neq 1. Determinați valorile lui aa pentru care ecuația log⁡a(x2+1)=log⁡a(x+3)\log_{a}(x^2 + 1) = \log_{\sqrt{a}}(x + 3) are exact două soluții reale distincte.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Condiții de existență: x2+1>0x^2 + 1 > 0 (adevărat pentru orice xx real), x+3>0⇒x>−3x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3.
22 puncte
Se schimbă baza: log⁡a(x+3)=log⁡a(x+3)log⁡aa=log⁡a(x+3)1/2=2log⁡a(x+3)=log⁡a((x+3)2)\log_{\sqrt{a}}(x+3) = \frac{\log_{a}(x+3)}{\log_{a}\sqrt{a}} = \frac{\log_{a}(x+3)}{1/2} = 2\log_{a}(x+3) = \log_{a}((x+3)^2).
32 puncte
Ecuația devine: log⁡a(x2+1)=log⁡a((x+3)2)\log_{a}(x^2 + 1) = \log_{a}((x+3)^2). Pentru a>0a > 0, a≠1a \neq 1, se obține x2+1=(x+3)2x^2 + 1 = (x+3)^2.
42 puncte
Rezolvând: x2+1=x2+6x+9⇒6x=−8⇒x=−43x^2 + 1 = x^2 + 6x + 9 \Rightarrow 6x = -8 \Rightarrow x = -\frac{4}{3}.
52 puncte
Se verifică condiția x>−3x > -3: −43>−3-\frac{4}{3} > -3 (adevărat). Pentru orice a>0a > 0, a≠1a \neq 1, ecuația are o singură soluție. Pentru exact două soluții, se reconsideră discuția pe cazurile a>1a>1 și 0<a<10<a<1 care pot afecta domeniul sau sensul ecuației logaritmice; de fapt, ecuația are întotdeauna o soluție unică, deci nu există aa pentru exact două soluții distincte.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.