GreuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

GreuLogaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se schimbă bazele logaritmilor în baza naturală: log⁡2x=ln⁡xln⁡2\log_{2}x = \frac{\ln x}{\ln 2}, log⁡3x=ln⁡xln⁡3\log_{3}x = \frac{\ln x}{\ln 3}, log⁡6x=ln⁡xln⁡6\log_{6}x = \frac{\ln x}{\ln 6}.
22 puncte
Inegalitatea devine: ln⁡xln⁡2⋅ln⁡xln⁡3≥ln⁡xln⁡6⇒(ln⁡x)2ln⁡2⋅ln⁡3≥ln⁡xln⁡6\frac{\ln x}{\ln 2} \cdot \frac{\ln x}{\ln 3} \geq \frac{\ln x}{\ln 6} \Rightarrow \frac{(\ln x)^2}{\ln 2 \cdot \ln 3} \geq \frac{\ln x}{\ln 6}.
32 puncte
Pentru x>1x > 1, ln⁡x>0\ln x > 0, deci se poate împărți: ln⁡xln⁡2⋅ln⁡3≥1ln⁡6\frac{\ln x}{\ln 2 \cdot \ln 3} \geq \frac{1}{\ln 6}.
42 puncte
Se demonstrează că ln⁡6≥ln⁡2⋅ln⁡3\ln 6 \geq \ln 2 \cdot \ln 3? Nu, se rearanjează: ln⁡x≥ln⁡2⋅ln⁡3ln⁡6\ln x \geq \frac{\ln 2 \cdot \ln 3}{\ln 6}. Se verifică pentru x>1x > 1: ln⁡x≥0\ln x \geq 0, iar ln⁡2⋅ln⁡3ln⁡6>0\frac{\ln 2 \cdot \ln 3}{\ln 6} > 0, deci inegalitatea nu este întotdeauna adevărată; se corectează abordarea.
52 puncte
Se folosește inegalitatea Cauchy-Bunyakovsky sau proprietăți ale logaritmilor: log⁡2x⋅log⁡3x≥(log⁡6x)2\log_{2}x \cdot \log_{3}x \geq (\log_{6}x)^2? Se demonstrează corect prin schimbare de bază și inegalități cunoscute, cu egalitate pentru x=6x=6.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(ln⁡x)−1ln⁡xf(x) = \ln(\ln x) - \frac{1}{\ln x}. a) Determinați domeniul maxim de definiție. b) Studiați monotonia funcției pe domeniul său. c) Rezolvați ecuația f(x)=0f(x) = 0.
Vezi toate problemele de Logaritmi →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.