GreuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

GreuLogaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se stabilesc condițiile de existență: x2−4x+a>0x^2 - 4x + a > 0 și 2x−3>0⇒x>322x - 3 > 0 \Rightarrow x > \frac{3}{2}.
22 puncte
Din proprietatea logaritmilor cu aceeași bază, ecuația devine x2−4x+a=2x−3x^2 - 4x + a = 2x - 3, adică x2−6x+(a+3)=0x^2 - 6x + (a + 3) = 0.
32 puncte
Se calculează discriminantul Δ=36−4(a+3)=24−4a\Delta = 36 - 4(a + 3) = 24 - 4a. Pentru soluții reale, Δ≥0⇒a≤6\Delta \geq 0 \Rightarrow a \leq 6.
42 puncte
Rădăcinile sunt x1,2=3±6−ax_{1,2} = 3 \pm \sqrt{6 - a}. Se verifică condiția x>32x > \frac{3}{2} pentru fiecare rădăcină, analizând cazurile a<6a < 6 și a=6a = 6.
52 puncte
Concluzie: Pentru a≤6a \leq 6, ecuația are cel puțin o soluție reală; numărul exact depinde de verificarea condițiilor suplimentare, cu discuție pe intervalele lui aa.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#3Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Greu#4Logaritmi
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(ln⁡x)−1ln⁡xf(x) = \ln(\ln x) - \frac{1}{\ln x}. a) Determinați domeniul maxim de definiție. b) Studiați monotonia funcției pe domeniul său. c) Rezolvați ecuația f(x)=0f(x) = 0.
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.