GreuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

GreuGrupuri
Fie G=Z18×Z12G = \mathbb{Z}_{18} \times \mathbb{Z}_{12} grupul produs direct. a) Determinați ordinul grupului GG și structura sa ca produs de grupuri ciclice. b) Găsiți toate elementele de ordin 66 din GG. c) Fie H={(a,b)∈G∣3a+2b≡0(mod6)}H = \{(a,b) \in G \mid 3a + 2b \equiv 0 \pmod{6}\}. Demonstrați că HH este subgrup al lui GG și calculați indicele său. d) Fie φ:G→Z6\varphi: G \to \mathbb{Z}_6 definită prin φ(a,b)=a−b(mod6)\varphi(a,b) = a - b \pmod{6}. Demonstrați că φ\varphi este morfism surjectiv și aplicați teorema fundamentală de izomorfism pentru a descrie G/Ker(φ)G/\text{Ker}(\varphi).

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
∣G∣=18⋅12=216|G|=18\cdot12=216. Structura: Z18×Z12≅Z2×Z9×Z3×Z4\mathbb{Z}_{18} \times \mathbb{Z}_{12} \cong \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_9 \times \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_4 (prin descompunere în factori ciclici primari).
22 puncte
Elemente de ordin 66: (a,b)(a,b) cu lcm(ord(a),ord(b))=6\text{lcm}(\text{ord}(a),\text{ord}(b))=6. Exemple: (3,0)(3,0) ordin 66, (0,2)(0,2) ordin 66, (3,2)(3,2) ordin 66 etc. Se enumeră sistematic.
32 puncte
HH: verificare închidere: dacă (a,b),(c,d)∈H(a,b),(c,d) \in H, atunci 3(a+c)+2(b+d)≡0(mod6)3(a+c)+2(b+d) \equiv 0 \pmod{6}, deci (a+c,b+d)∈H(a+c,b+d) \in H. Element neutru (0,0)∈H(0,0) \in H, inversa (−a,−b)(-a,-b) verifică condiția.
41 punct
∣H∣|H|: condiția 3a+2b≡0(mod6)3a+2b \equiv 0 \pmod{6} definește un subgrup; se poate calcula ∣H∣=36|H|=36 (de ex., prin numărarea soluțiilor modulo 1818 și 1212).
51 punct
Indice [G:H]=216/36=6[G:H]=216/36=6.
62 puncte
φ\varphi: φ((a,b)+(c,d))=(a+c)−(b+d)=(a−b)+(c−d)=φ(a,b)+φ(c,d)\varphi((a,b)+(c,d)) = (a+c)-(b+d) = (a-b)+(c-d) = \varphi(a,b)+\varphi(c,d) mod 66, morfism. Surjectiv: pentru orice k∈Z6k \in \mathbb{Z}_6, (k,0)↦k(k,0) \mapsto k. Teorema fundamentală: G/Ker(φ)≅Z6G/\text{Ker}(\varphi) \cong \mathbb{Z}_6.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.