GreuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

GreuLogaritmi
Rezolvați sistemul: {log⁡2(x+y)+log⁡2(x−y)=32x+y⋅3x−y=36\begin{cases} \log_{2}(x + y) + \log_{2}(x - y) = 3 \\ 2^{x+y} \cdot 3^{x-y} = 36 \end{cases}, unde x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Condiții de existență: x+y>0x + y > 0 și x−y>0x - y > 0, deci x>∣y∣x > |y|.
22 puncte
Prima ecuație: log⁡2[(x+y)(x−y)]=3⇒x2−y2=8\log_{2}[(x+y)(x-y)] = 3 \Rightarrow x^2 - y^2 = 8.
32 puncte
A doua ecuație: 2x+y⋅3x−y=36=22⋅322^{x+y} \cdot 3^{x-y} = 36 = 2^2 \cdot 3^2. Se logaritmează în baza 2: (x+y)+(x−y)log⁡23=2+2log⁡23(x+y) + (x-y)\log_{2}3 = 2 + 2\log_{2}3.
42 puncte
Se notează u=x+yu = x+y, v=x−yv = x-y. Sistemul devine: uv=8uv = 8 și u+vlog⁡23=2+2log⁡23u + v\log_{2}3 = 2 + 2\log_{2}3.
52 puncte
Rezolvare: din prima, v=8/uv = 8/u. Substituim în a doua: u+(8/u)log⁡23=2+2log⁡23u + (8/u)\log_{2}3 = 2 + 2\log_{2}3. Se obține u2−(2+2log⁡23)u+8log⁡23=0u^2 - (2 + 2\log_{2}3)u + 8\log_{2}3 = 0, cu soluțiile u=2u = 2 sau u=4log⁡23u = 4\log_{2}3. Atunci v=4v = 4 sau v=2/log⁡23v = 2/\log_{2}3. Se găsesc x=(u+v)/2x = (u+v)/2, y=(u−v)/2y = (u-v)/2 și se verifică condițiile.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.