GreuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

GreuLogaritmi
Fie a∈Ra \in \mathbb{R}. Determinați valorile lui aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(x−2)+1\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(x - 2) + 1 are soluții reale. Pentru aceste valori, găsiți soluțiile și discutați-le în funcție de aa.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se stabilesc condițiile de existență: x2−4x+a>0x^2 - 4x + a > 0 și x−2>0x - 2 > 0, deci x>2x > 2.
22 puncte
Ecuația se scrie log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2(x−2))\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2(x - 2)), deci x2−4x+a=2x−4x^2 - 4x + a = 2x - 4.
32 puncte
Se obține ecuația pătratică x2−6x+(a+4)=0x^2 - 6x + (a + 4) = 0, cu discriminant Δ=36−4(a+4)=20−4a\Delta = 36 - 4(a + 4) = 20 - 4a.
42 puncte
Condiții pentru soluții reale: Δ≥0\Delta \geq 0 și rădăcinile x1,2=3±5−ax_{1,2} = 3 \pm \sqrt{5 - a} să satisfacă x>2x > 2.
52 puncte
Analiză: a≤5a \leq 5 din Δ≥0\Delta \geq 0. Verificare x>2x > 2: 3−5−a>2⇒a<43 - \sqrt{5 - a} > 2 \Rightarrow a < 4, iar 3+5−a>23 + \sqrt{5 - a} > 2 este întotdeauna adevărat. Soluții: pentru a<4a < 4, ambele rădăcini; pentru 4≤a≤54 \leq a \leq 5, doar x=3+5−ax = 3 + \sqrt{5 - a}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.